A pseudo-random and non-point Nelson-style process
Résumé
We take up the idea of Nelson’s stochastic processes, the aim of which was to deduce Schrödinger’s equation. We make two major changes here. The first one is to consider deterministic processes which are pseudo-random but which have the same characteristics as Nelson’s stochastic processes. The second is to consider an extended particle and to represent it by a set of interacting vibrating points. In a first step, we represent the particle and its evolution by four points that define the structure of a small elastic string that vibrates, alternating at each period a creative process followed by a process of annihilation. We then show how Heisenberg’s spin and relations of uncertainty emerge from this extended particle. In a second step, we show how a complex action associated with this extended particle verifies, from a generalized least action principle, a complex second-order Hamilton-Jacobi equation. We then deduce that the wave function, accepting this complex action as a phase, is the solution to a Schrödinger equation and that the center of gravity of this extended particle follows the trajectories of de Broglie-Bohm’s interpretation. This extended particle model is built on two new mathematical concepts that we have introduced: complex analytical mechanics on functions with complex values and periodic deterministic processes. In conclusion, we show that this particle model and its associated wave function are compatible with the quantum mechanical interpretation of the double-scale theory we recently proposed.
Nous reprenons l’idée des processus stochastiques de Nelson, dont le but était de déduire l’équation de Schrödinger. Nous apportons ici deux changements majeurs. Le premier est de considérer des processus déterministes pseudo-aléatoires mais qui ont les mêmes caractéristiques que les processus stochastiques de Nelson. Le second est de considérer une particule étendue et de la représenter par un ensemble de points vibrants en interaction. Dans un premier temps, nous représentons la particule et son évolution par quatre points qui ont la structure d’une petite corde élastique qui vibre en alternant à chaque période un processus de création suivi d’un processus d’annihilation. Nous montrons ensuite comment le spin et les relations d’incertitude d’Heisenberg émergent de cette particule étendue. Dans un deuxième temps, nous montrons comment une action complexe associée à cette particule étendue vérifie, à partir d’un principe de moindre action généralisé, une équation de Hamilton-Jacobi complexe du second ordre. Nous déduisons ensuite que la fonction d’onde, acceptant cette action complexe comme phase, est la solution d’une équation de Schrödinger et que le centre de gravité de cette particule étendue suit les trajectoires de l’onde pilote de de Broglie-Bohm. Ce modèle de particule étendue est construit sur deux nouveaux concepts que nous avons introduit : une mécanique analytique complexe à valeurs complexes et des processus déterministe périodique. En conclusion, nous montrons que ce modèle de particule et sa fonction d’onde associée sont compatibles avec la théorie de la double solution de de Broglie et la théorie de la double échelle que nous avons proposée récemment.
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