Thèse Année : 2024

Complexity and bifurcation of the identity

Complexité et bifurcation de l’identité

Résumé

This thesis is organized into three chapters. The first chapter presents the work from the article "Scales". This chapter is embedded in dimension theory with applications in probability, dynamical systems, and functional analysis. Scales are families of invariants of various types: Hausdorff, packing, covering, quantization, etc., and with different growth rates encompassing dimension or order, thus allowing the study of infinite-dimensional spaces. In this chapter, well-established comparison theorems between different versions of dimensions are extended to the more general framework of scales. These comparison results are then applied to describe the geometry of functional spaces, the Wiener measure, and the ergodic decomposition of a measurable dynamical system. The second chapter presents the article titled "Every Diffeomorphism is a Total Renormalization of an Arbitrarily Close to Identity Map" which is a joint work with P. Berger and N. Gourmelon. We improve a seminal result of D. Turaev using a new proof based on tools from group theory and Lie algebras. More precisely, we show that every smooth diffeomorphism, in the connected component of the identity and isotopic to identity by a compactly supported path, of a manifold of the form MxT where T is the circle and dim M is at least 1, can be obtained as a total renormalization of a close to identity map. In other words, there exists a map g arbitrarily close to the identity such that the first return map of g in a certain domain is conjugate to f, and moreover, the orbit of the domain covers the entire manifold. Finally, the last chapter contains a study of the perturbation of smooth diffeomorphisms presenting homoclinic tangencies. An alternative and geometric proof of a result of Gonchenko-Meiss-Ovsyannikov is brought. This states in particular that there exists totally parabolic periodic points, i.e. with eigenvalues on the unit circle, by arbitrarily small perturbation of a 3-dimensional diffeomorphism with a saddle with determinant equal to 1 and displaying a homoclinic tangency. In this last chapter, the geometric construction is brought to a new parametric counterpart of this result.
Cette thèse est articulée autour de trois chapitres. Le premier expose le travail issu de l'article 'Scales'. Ce chapitre s'inscrit dans la théorie de la dimension avec des applications en probabilité, en systèmes dynamiques et en analyse fonctionnelle. Les échelles sont des familles d'invariants de plusieurs natures: Hausdorff, paquet, recouvrement, quantisation, ... et de différents taux de croissances, contenant ainsi la dimension ou l'ordre et permettant en particulier l'étude d'espaces de dimension infinie. Dans ce chapitre, les théorèmes établis de comparaison entre les différentes versions de dimensions sont étendus au cadre plus général des échelles. Ces résultats de comparaisons sont ensuite appliqués pour décrire la géométrie des espaces fonctionnels, de la mesure de Wiener et de la décomposition ergodique d'un système dynamique conservatif. Le second chapitre présente une collaboration avec P. Berger et N. Gourmelon qui a mené à l'article intitulé "Every Diffeomorphism is a total renormalization of an arbitrariraly close to identity map". Nous améliorons un résultat fondateur de D. Turaev. Précisément, nous montrons que tout difféomorphisme lisse à support compact dans la composante connexe de l'identité, sur une variété de la forme M X T où T est le cercle et M une variété de dimension au moins 1, peut être obtenu comme renormalisation totale d'une application proche de l'identité. Autrement dit, il existe une application g arbitrairement proche de l'identité telle que l'application de premier retour de g dans un certain domaine soit conjuguée à f, et de plus, l'orbite du domaine recouvre toute la variété. Notre preuve utilise de nouveaux outils qui utilisent bénéficient de propriétés de théorie des groupes et des algèbres de Lie. Enfin, le dernier chapitre s'inscrit dans la théorie de la bifurcation. Dans cette partie, une preuve alternative et géométrique d'un résultat de Gochenko-Meiss-Ovsyannikov est proposée. Leur résultat décrit l'apparition de points périodiques totalement paraboliques par perturbation lisse de difféomorphismes présentant des tangences homoclines. Cette nouvelle preuve permet d'obtenir une version paramétrique de ce résultat.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04906262 , version 1 (22-01-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04906262 , version 1

Citer

Mathieu Helfter. Complexity and bifurcation of the identity. Dynamical Systems [math.DS]. Sorbonne Université, 2024. English. ⟨NNT : 2024SORUS362⟩. ⟨tel-04906262⟩
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