Convergence analysis of overlapping domain decomposition preconditioners for nonlinear problems
Analyse de convergence des préconditionneurs de décomposition de domaine avec recouvrement pour problèmes non linéaires
Résumé
Numerical simulations of nonlinear partial differential equations often involve solving large nonlinear systems, for which Newton's method is widely employed due to its fast convergence near the solution. However, its performance can deteriorate in the presence of strong nonlinearities or poor initial guesses. Nonlinear overlapping domain decomposition methods, such as RASPEN and Substructured RASPEN (SRASPEN) , have proven effective in addressing these challenges. Because SRASPEN reduces the problem size by restricting computations to a substructure, it does not update the solution outside the substructure, so that no natural initial guesses for the nonlinear local solution exists that might lead to additional inner subdomain nonlinear iterations or even prevent the local solvers to converge. In this study, we analyze the convergence of RASPEN. We show how domain decomposition improves the convergence rate of the Newton's method by highlighting the key role of the substructure on the global error contraction. Moreover, our analysis provides insight into an inexpensive modification to SRASPEN that mitigates the lack of iterations outside the substructure. The proposed variant significantly reduces computational cost while improving overall efficiency compared to existing techniques in the literature. Numerical experiments confirm the computational performance and robustness of the improved SRASPEN, establishing it as a reliable approach for solving large-scale nonlinear systems.
Les simulations numériques d'équations aux dérivées partielles non linéaires impliquent souvent la résolution de grands systèmes non linéaires, pour lesquels la méthode de Newton est largement utilisée en raison de sa convergence rapide près de la solution. Cependant, ses performances peuvent se détériorer en présence de fortes non-linéarités ou de mauvaises suppositions initiales. Les méthodes de décomposition de domaines non linéaires par chevauchement, telles que RASPEN et Substructured RASPEN (SRASPEN), se sont avérées efficaces pour relever ces défis. Comme SRASPEN réduit la taille du problème en limitant les calculs à une sous-structure, il ne met pas à jour la solution en dehors de la sous-structure, de sorte qu'il n'existe pas de suppositions initiales naturelles pour la solution locale non linéaire qui pourraient conduire à des itérations non linéaires supplémentaires dans le sous-domaine intérieur ou même empêcher les solveurs locaux de converger.
Dans cette étude, nous analysons la convergence de RASPEN. Nous montrons comment la décomposition du domaine améliore le taux de convergence de la méthode de Newton en mettant en évidence le rôle clé de la sous-structure sur la contraction de l'erreur globale. En outre, notre analyse donne un aperçu d'une modification peu coûteuse de SRASPEN qui atténue le manque d'itérations en dehors de la sous-structure.
La variante proposée réduit considérablement les coûts de calcul tout en améliorant l'efficacité globale par rapport aux techniques existantes dans la littérature. Des expériences numériques confirment les performances de calcul et la robustesse de la SRASPEN améliorée, l'établissant comme une approche fiable pour la résolution de systèmes non linéaires à grande échelle.
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